अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2 का | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है, $\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$.माना $v = 4x + y + 1$.तब, $\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \

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$y = 2 	an(2x + \frac{\pi}{4}) - 4x - 1$

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(C) हमें दिया गया है, $\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$.माना $v = 4x + y + 1$.तब, $\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$.इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{dv}{dx} - 4 = v^2$, या $\frac{dv}{dx} = v^2 + 4$.चरों को अलग करने पर, $\frac{dv}{v^2 + 4} = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int \frac{dv}{v^2 + 2^2} = \int dx$.इससे हमें $\frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{v}{2}) = x + c$ प्राप्त होता है।$v = 4x + y + 1$ रखने पर, $\frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + c$.चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है, $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $\frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{0 + 1 + 1}{2}) = 0 + c$, अतः $c = \frac{1}{2} 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{8}$.इस प्रकार, $\frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + \frac{\pi}{8}$.$2$ से गुणा करने पर, $	an^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = 2x + \frac{\pi}{4}$.दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर, $\frac{4x + y + 1}{2} = 	an(2x + \frac{\pi}{4})$.अतः, $y = 2 	an(2x + \frac{\pi}{4}) - 4x - 1$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$ का हल ज्ञात कीजिए, जब $y(0) = 1$ है।

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