अवकल समीकरण (1+y^2)+(x-e^{tan ^{-1} y}) frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+

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$2 x e^{	an ^{-1} y}-e^{2 	an ^{-1} y}=c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$. $\frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an ^{-1} y}$ है। सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है। $x e^{	an ^{-1} y} = \int \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{	an ^{-1} y} dy + c = \int \frac{e^{2 	an ^{-1} y}}{1+y^2} dy + c$. माना $u = 	an ^{-1} y$, तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$। $x e^{	an ^{-1} y} = \int e^{2u} du + c = \frac{1}{2} e^{2u} + c = \frac{1}{2} e^{2 	an ^{-1} y} + c$. $2$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है $2x e^{	an ^{-1} y} = e^{2 	an ^{-1} y} + 2c$. चूँकि $2c$ एक स्थिरांक है, इसलिए हल को $2x e^{	an ^{-1} y} - e^{2 	an ^{-1} y} = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ का हल है

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यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,तो:

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$ का हल है

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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