વિકલ સમીકરણ (y^{2}+2x) frac{dy}{dx}=y નો ઉકેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ મળે છે. આ $\fr

Vedclass · Accepted Answer

$x=y^{2}(1+\log_{e} y)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ મળે છે. આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = y$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ છે. સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા, $x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ મળે છે. આમ, $x = y^{2}(\log_{e} y + C)$. આપેલ છે કે જ્યારે $y=1$ ત્યારે $x=1$, તેથી આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$. સામાન્ય ઉકેલમાં $C=1$ મૂકતા, આપણને $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ નો ઉકેલ $x=1, y=1$ નું સમાધાન કરે છે. તો ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ માટે $(-1 < x < 1)$ સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ નો ઉકેલ હોય, તો $f(4) = $ ?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module