अवकल समीकरण sqrt{a + x} frac{dy}{dx} + xy = 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + xy = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{\sqrt{a + x}}$ प्राप्त होता है

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$y = A e^{\frac{2}{3}(2a - x)\sqrt{x + a}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + xy = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{\sqrt{a + x}}$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -\frac{x}{\sqrt{a + x}} dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{\sqrt{x + a}} dx$।माना $u = x + a$,तो $x = u - a$ और $dx = du$ है।$\ln y = -\int \frac{u - a}{\sqrt{u}} du = -\int (u^{1/2} - a u^{-1/2}) du$।$\ln y = -(\frac{2}{3} u^{3/2} - 2a u^{1/2}) + C$।$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{3/2} + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$।$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{1/2} (x + a) + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$।$\ln y = \sqrt{x + a} [-\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}a + 2a] + \ln A$।$\ln y = \sqrt{x + a} [\frac{-2x - 2a + 6a}{3}] + \ln A = \frac{2}{3} \sqrt{x + a} (2a - x) + \ln A$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y = A e^{\frac{2}{3}(2a - x)\sqrt{x + a}}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + xy = 0$ का हल है

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