समीकरण $\log_{7}(\log_{5}(\sqrt{x^2 + x + 5})) = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

उन सभी प्राकृतिक संख्याओं पर विचार करें जिनके दशमलव विस्तार में केवल सम अंक $0, 2, 4, 6, 8$ हैं। मान लीजिए कि इन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि $a_n$ इस अनुक्रम में $n$-वीं संख्या को दर्शाता है,तो $\frac{\lim_{n \rightarrow \infty} \log a_n}{\log n}$ का मान क्या होगा?

यदि ${\log _{10}}x = y$ हो,तब ${\log _{1000}}{x^2}$ का मान होगा

यदि $n = (1999)!$ है,तो $\sum\limits_{x = 1}^{1999} {{\log }_n x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${a^{x - 1}} = bc$,${b^{y - 1}} = ca$,और ${c^{z - 1}} = ab$ हो,तो $\sum \frac{1}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(x^2 \log _x 27) \cdot \log _9 x = x + 4$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।