योगफल $1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ....+n (n!)$ किसके बराबर है?

यदि एक समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग $15$ है और उनके वर्गों का योग $83$ है,तो वे संख्याएँ हैं

यदि $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$ है,तो $\sum_{r=1}^n \left[ \left( \prod_{i=1}^r x_i \right) - 2\sum_{i=1}^r (2i - 1) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक गुणोत्तर श्रेणी में,यदि प्रथम $5$ पदों के योग और उनके व्युत्क्रमों के योग का अनुपात $49$ है,और प्रथम तथा तीसरे पद का योग $35$ है,तो इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं और $\gamma$ और $\delta$,$x^{2}-6x+q=0$ के मूल हैं। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो अनुपात $(2q+p):(2q-p)$ क्या है?

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots$ $\text{51 वें पद तक}$) + $(1! - 2! + 3! - \dots$ $\text{51 वें पद तक}$) का मान किसके बराबर है?