${(1 + x + x^2 + x^3)^5}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના બેકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$2^{(x-2)\log_2 3}$ ની વધતી જતી ઘાતમાં છઠ્ઠું પદ $21$ છે. જો વિસ્તરણમાં બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદના દ્વિપદી સહગુણકો અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમા પદ હોય,તો $x$ ની તમામ શક્ય કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $.........$ છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $m, n$ માટે,જો $(1-y)^{m}(1+y)^{n}=1+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots +a_{m+n} y^{m+n}$ અને $a_{1}=a_{2}=10$ હોય,તો $(m+n)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ એ $2^{n} \cdot m$ બરાબર હોય,જ્યાં $m$ એકી સંખ્યા છે,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $C_{r}$ એ $(1+x)^{n}$, $n \in N$, $0 \leq r \leq n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક છે. જો $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ હોય, તો $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા $K$ છે. જો $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{P} \quad(P \in N)$ નો સહગુણક $\alpha_{P}$ હોય,તો $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$