श्रेणी frac{1}{2 cdot 3} cdot 2 + frac{2}{3 c | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \cdot 2^n$ है। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n

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$\frac{2^{n+1}}{n+2} - 1$

Vedclass · Answer

(B) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \cdot 2^n$ है। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1}$. अतः,$T_n = \left( \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right) 2^n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - \frac{2^n}{n+1}$. मान लीजिए $f(n) = \frac{2^n}{n+1}$. तब $T_n = f(n+1) - f(n)$. योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(1)$. चूंकि $f(n+1) = \frac{2^{n+1}}{n+2}$ और $f(1) = \frac{2^1}{1+1} = 1$,इसलिए $S_n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - 1$ प्राप्त होता है।

श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + \frac{2}{3 \cdot 4} \cdot 2^{2} + \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot 2^{3} + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ है।

यदि $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^i {\sum\limits_{k = 1}^j {1 = 560} } } $ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2^3+4^3+6^3+\ldots+(2n)^3 = h n^2(n+1)^2$ है,तो $h$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ क्रमशः प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं,उनके वर्गों और उनके घनों का योग हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$।

एक श्रेणी जिसका $n^{th}$ पद $\left( \frac{n}{x} \right) + y$ है,उसके $r$ पदों का योग क्या होगा?

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