બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના ગુણોત્તર મધ્યક કરતાં $6$ ગણો છે. સાબિત કરો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ છે.

(N/A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ = $\sqrt{ab}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$a+b = 6\sqrt{ab}$ --- $(1)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(a+b)^2 = 36ab$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$(a-b)^2 = 36ab - 4ab = 32ab$
$a-b = \sqrt{32}\sqrt{ab} = 4\sqrt{2}\sqrt{ab}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2a = (6+4\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a = (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$b = 6\sqrt{ab} - (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$b = (3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{a}{b} = \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}}{(3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$
આમ,સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2\sqrt{2}):(3-2\sqrt{2})$ છે.