बिंदु (3, 1) पर वृत्त x^2 + y^2 = 10 की स्पर् | vedclass

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Question

(D) $1$. बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है। $(3, 1)$ पर $x^2 + y^2 = 10$ के लिए, स्पर

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$101$

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(D) $1$. बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है। $(3, 1)$ पर $x^2 + y^2 = 10$ के लिए, स्पर्श रेखा $3x + y = 10$ या $3x + y - 10 = 0$ है।$2$. दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 2\sqrt{10}x - 20y + k = 0$ है। इसका केंद्र $(\sqrt{10}, 10)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 10^2 - k} = \sqrt{110 - k}$ है।$3$. केंद्र $(\sqrt{10}, 10)$ से रेखा $3x + y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $R$ के बराबर होनी चाहिए।$4$. दूरी $d = \frac{|3(\sqrt{10}) + 1(10) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 3$ है।$5$. $d^2 = R^2$ रखने पर, $3^2 = 110 - k$, जिससे $9 = 110 - k$, अतः $k = 101$ प्राप्त होता है।

बिंदु $(3, 1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ की स्पर्श रेखा, वृत्त $x^2 + y^2 - 2\sqrt{10}x - 20y + k = 0$ को स्पर्श करती है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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