${\left( {{x^2} - \frac{{3\sqrt{3}}}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

$(x^2 - x + 1)^{10} (x^2 + 1)^{15}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_0, a_1, \ldots, a_{23}$ वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $(1+\frac{2}{5} x)^{23} = \sum_{i=0}^{23} a_i x^i$ हो। मान लीजिए $0 \leq j \leq 23$ के लिए $a_j$ संख्याओं में $a_r$ सबसे बड़ी है। तो $r$ का मान $....$ है।

$p, q$ दो अभाज्य संख्याएँ हैं। $n=pq$ के लिए,यदि विस्तार $\left(x^{-5/4} + 2x^{4/5}\right)^n$ में $x^{-n}$ और $x^0$ के गुणांक शून्येतर हैं,तो ऐसे $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in N$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 + x)^n$ के विस्तार में दो क्रमागत पदों के गुणांक समान होंगे,यदि