એક લંબઘન (rectangular parallelepiped) ના ત્રણ અલગ-અલગ ફલકના વિકર્ણોની લંબાઈ $39, 40, 41$ છે. લંબઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ,જે સામસામેના ખૂણાઓને જોડે છે,તે શોધો.

જો $\alpha$ એ ઘનના કોઈપણ બે વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\beta$ એ ઘનનો એક વિકર્ણ અને તેના ફલકનો વિકર્ણ, જે આ ઘનના વિકર્ણને છેદે છે, તેમની વચ્ચેનો ખૂણો હોય, તો $\cos \alpha + \cos^2 \beta =$

ચતુષ્ફલક $ABCD$ ની બાજુઓની લંબાઈ $AB = CD = 12$ છે. આ ધાર એકબીજાને લંબ છે. ધારો કે $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. જો $EF = 10$ હોય અને તે $AB$ અને $CD$ બંનેને લંબ હોય,તો ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું ઘનફળ શોધો.

$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ એ ત્રણ સમતલો છે જે અનુક્રમે $YZ, ZX$ અને $XY$ સમતલોને સમાંતર $a, b$ અને $c$ અંતરે આવેલા છે, જે એક લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલક બનાવે છે. $d_1$ એ $XY$-સમતલની એવી બાજુનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી અને $d_2$ એ સમતલ $\Pi_2$ નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. જો સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓના યામ પૈકી કોઈ પણ ઋણ ન હોય, તો $d_1$ અને $d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $(4, 0, 0)$ અને $(-4, 0, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $10$ થાય,તો બિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

$P$ બિંદુઓના સમૂહનું સમીકરણ શોધો,જેના $A(4, 0, 0)$ અને $B(-4, 0, 0)$ થી અંતરનો સરવાળો $10$ છે.