$10 \ kg$ દળ અને $0.5 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ $2 \ m/s$ ના વેગથી સરક્યા વગર ગતિ કરે છે,તેની કુલ ગતિઊર્જા $32.8 \ J$ છે. પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા (radius of gyration) .......... $m$ છે.

$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતું એક સમાન પાતળું લાકડાનું પાટિયું $AB$ ટેબલ પર એવી રીતે રાખેલું છે કે તેનો $B$ છેડો ટેબલની ધારની સહેજ બહાર છે. જ્યારે $B$ છેડા પર $J$ જેટલો આઘાત (impulse) આપવામાં આવે છે,ત્યારે પાટિયું ઉપર તરફ ગતિ કરે છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $h$ જેટલી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. તો,

$R$ ત્રિજ્યાનો એક સમાન ગોળો ખરબચડી આડી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે અને તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $v_0$ રેખીય વેગ અને $\omega_0$ કોણીય વેગ આપવામાં આવે છે. ગોળો જમણી તરફ થોડું અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થઈ જાય છે. તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

$1\; m$ લાંબા સીધા સમાન સળિયાનો એક છેડો આડી ટેબલ પર ધરી (pivot) કરેલો છે. જ્યારે તે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે ત્યારે તેને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). જ્યારે તે ટેબલને અથડાય છે ત્યારે તેની કોણીય ઝડપ $\sqrt{n}\; s^{-1}$ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળાની તેની ભૌમિતિક અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને પીગાળીને $r$ ત્રિજ્યા અને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ તકતીની તેની ધારને સ્પર્શતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $I$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો: