दो रेखाएँ L_1: vec{r}=(hat{i}+5 hat{j}+5 hat{ | vedclass

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Question

(C) दो रेखाएँ $\vec{r}=\vec{a}_1+t\vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+s\vec{b}_2$ समांतर होती हैं यदि $\vec{b}_1=m\vec{b}_2$ किसी अदिश $m \in \mathbb{R}$

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दोनों विषमतलीय (skew) रेखाएँ हैं

Vedclass · Answer

(C) दो रेखाएँ $\vec{r}=\vec{a}_1+t\vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+s\vec{b}_2$ समांतर होती हैं यदि $\vec{b}_1=m\vec{b}_2$ किसी अदिश $m \in \mathbb{R}$ के लिए हो।वे लंबवत होती हैं यदि $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = 0$ हो।वे प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।दिया गया है $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ और $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$.यहाँ, $\vec{b}_1 = 4\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 8\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$.चूँकि $\vec{b}_1$, $\vec{b}_2$ का अदिश गुणज नहीं है, रेखाएँ समांतर नहीं हैं।लंबवतता की जाँच: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (4)(8) + (-4)(-3) + (5)(1) = 32 + 12 + 5 = 49 
eq 0$. अतः, वे लंबवत नहीं हैं।यह जाँचने के लिए कि क्या वे विषमतलीय हैं, हम न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2|}$ की गणना करते हैं।$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j}$.$\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2 = 11\hat{i} + 36\hat{j} + 20\hat{k}$.$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2) = 11 - 36 = -25 
eq 0$.चूँकि न्यूनतम दूरी शून्य नहीं है, इसलिए रेखाएँ विषमतलीय हैं।

दो रेखाएँ $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ और $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ इस प्रकार हैं कि

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रेखाओं $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(3, 5, 2)$ से बिंदु $2\hat{i} + \hat{j}$ से गुजरने वाली और सदिश $\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर रेखा $L$ की लंबवत दूरी है

रेखाओं $\vec{r}=2 \vec{b}+t(6 \vec{c}-\vec{a})$ और $\vec{r}=\vec{a}+s(\vec{b}-3 \vec{c})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है

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