9 int_0^9 left[ sqrt{frac{10x}{x+1}} right] d | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.जैसे-जैसे $x$,$0$ से $9$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $3$ तक बढ़ता है।$[f(x)]$ का म

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$155$

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(A) माना $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.जैसे-जैसे $x$,$0$ से $9$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $3$ तक बढ़ता है।$[f(x)]$ का मान उन बिंदुओं पर बदलता है जहाँ $f(x) = k$ हो,जहाँ $k \in \{1, 2, 3\}$.$f(x) = 1$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.$f(x) = 2$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.$f(x) = 3$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.अतः,समाकलन $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ इस प्रकार होगा:$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.

$9 \int_0^9 \left[ \sqrt{\frac{10x}{x+1}} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है।

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