sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} का मान किसके बर | vedclass

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Question

(B) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + {}^{48}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ है।हॉकी-स्टिक सर्वसमिका का उ

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${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$

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(B) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + {}^{48}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ है।हॉकी-स्टिक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जो बताती है कि $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$,हम योग को फिर से लिख सकते हैं।सबसे पहले,ध्यान दें कि ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$।वैकल्पिक रूप से,हम ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ गुण का बार-बार उपयोग कर सकते हैं:$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + {}^{30}C_{6}$।${}^{30}C_{7}$ को जोड़ने और घटाने पर:$S = ({}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7}) - {}^{30}C_{7}$।${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:${}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7} = {}^{31}C_{7}$।${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$।इस प्रक्रिया को ${}^{50}C_{6} + {}^{50}C_{7} = {}^{51}C_{7}$ तक जारी रखने पर।अतः,योग ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ के बराबर है।

$\sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6}$ का मान किसके बराबर है?

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