log_a x + log_{sqrt{a}} x + log_{sqrt[3]{a}} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण है: $\log_a x + \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \dots + \log_{a^{1/a}} x = \frac{a(a+1)}{2}$.गुणधर्म $\log_{a^k} x = \frac{1

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$x = a$

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(A) दिया गया समीकरण है: $\log_a x + \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \dots + \log_{a^{1/a}} x = \frac{a(a+1)}{2}$.गुणधर्म $\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + a \log_a x = \frac{a(a+1)}{2}$.$\log_a x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + a) = \frac{a(a+1)}{2}$.प्रथम $a$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{a(a+1)}{2}$ होता है।अतः,$\log_a x \cdot \frac{a(a+1)}{2} = \frac{a(a+1)}{2}$.दोनों पक्षों को $\frac{a(a+1)}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\log_a x = 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$x = a^1 = a$.

$\log_a x + \log_{\sqrt{a}} x + \log_{\sqrt[3]{a}} x + \dots + \log_{\sqrt[a]{a}} x = \frac{a(a+1)}{2}$ को संतुष्ट करने वाला $x$ का मान है:

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