अंतराल [1, 3] पर फलन f(x) = log_{e} x के लिए | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = \log_{e} x$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:$f(1) = \log_{e} 1 = 0$$f(3) = \log_{e} 3$अब,फल

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$2 \log_{3} e$

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(D) दिया गया फलन $f(x) = \log_{e} x$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:$f(1) = \log_{e} 1 = 0$$f(3) = \log_{e} 3$अब,फलन का अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{x}$लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए:$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$मान रखने पर:$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3 - 0}{2}$$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3}{2}$$c = \frac{2}{\log_{e} 3}$लघुगणक के गुणधर्म $\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a$ का उपयोग करने पर:$c = 2 \log_{3} e$अतः,सही विकल्प $D$ है.

अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_{e} x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होने हेतु $c$ का मान क्या है?

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मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो:

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $f(1) = -2$ और $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \ge 2$ है,तो

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