int_{0}^{pi} x sin^{3} x , dx का मान क्या है? | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ ...$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^

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$\frac{2 \pi}{3}$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ ...$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3}(\pi - x) \, dx = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3} x \, dx$ ...(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi} (x + \pi - x) \sin^{3} x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x \, dx$$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^{3} x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^{3} x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$.$2I = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi} (3 \sin x - \sin 3x) \, dx$$2I = \frac{\pi}{4} \left[ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} ight]_{0}^{\pi}$$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (-3(-1) + \frac{-1}{3}) - (-3(1) + \frac{1}{3}) ight]$$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) ight] = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} ight] = \frac{\pi}{4} 	imes \frac{16}{3} = \frac{4 \pi}{3}$$I = \frac{2 \pi}{3}$

$\int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ का मान क्या है?

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यदि $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$ है,तो $\int_{1/e}^{e} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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