^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડ

Vedclass · Accepted Answer

$2^{4n - 2} + (-1)^n 2^{2n - 1}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડે વિભાજ્ય સૂચકાંકો ધરાવતા પદોનો સરવાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{1}{4} \left[ (1+1)^{4n} + (1-1)^{4n} + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 0 + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$(1+i)^{4n} = (\sqrt{2})^{4n} e^{in\pi} = 2^{2n} (\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)) = 2^{2n} (-1)^n$.
તે જ રીતે,$(1-i)^{4n} = 2^{2n} (-1)^n$.
આમ,$(1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} = 2 \cdot 2^{2n} (-1)^n = 2^{2n+1} (-1)^n$.
આ કિંમતને $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 2^{2n+1} (-1)^n \right] = 2^{4n-2} + 2^{2n-1} (-1)^n$.

$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$(1+x)^{59}$ ના વિસ્તરણમાં, જ્યારે $x$ ના ચડતા ઘાતાંકમાં વિસ્તરણ કરવામાં આવે ત્યારે છેલ્લા $30$ સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો છે. જો $S_{n+1} = 5 \cdot c_0 + 8 \cdot c_1 + 11 \cdot c_2 + \ldots$ ($n+1$ પદો),તો $S_{11} =$

$\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5$ ની કિંમત શોધો.

જો ${ }^{n} C_0+\frac{1}{2}{ }^{n} C_1+\frac{1}{3}{ }^{n} C_2+\ldots+\frac{1}{n+1}{ }^{n} C_{n}=\frac{1023}{10}$ હોય,તો $n=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module