જ્યાં x 0 હોય,ત્યારે lim _{x rightarrow 0^+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$.પ્રથમ,$L_1 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $L = \lim _{x ightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$.પ્રથમ,$L_1 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{x}}$ ધ્યાનમાં લો. જેમ $x ightarrow 0^+$,તેમ $\sin x ightarrow 0^+$ અને $\frac{1}{x} ightarrow \infty$. કોઈપણ ધન ઘાત માટે $0$ ની ઘાત $0$ હોવાથી,$L_1 = 0$.હવે,$L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ ધ્યાનમાં લો.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} \sin x \ln(\frac{1}{x}) = \lim _{x ightarrow 0^+} -\sin x \ln x$.આ $0 	imes \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે. તેને આ રીતે ફરીથી લખતા: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$.$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} = \lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x 	an x}{x} = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{\sin x}{x}) \cdot 	an x$.કારણ કે $\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x ightarrow 0^+} 	an x = 0$,તેથી $\ln L_2 = 1 	imes 0 = 0$.આમ,$L_2 = e^0 = 1$.તેથી,$L = L_1 + L_2 = 0 + 1 = 1$.

જ્યાં $x > 0$ હોય,ત્યારે $\lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

લક્ષની કિંમત શોધો: $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to 4} \frac{(\cos \alpha)^x - (\sin \alpha)^x - \cos 2\alpha}{x - 4}$,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{1-x} = $

લક્ષની કિંમત શોધો: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{\sin x}}{2(x-\sin x)}$

$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(84-x)^{\frac{1}{4}}-3}{x-3}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^n \left( \frac{2\tan(x/2^{r+1})}{1 - \tan^2(x/2^{r+1})} \right)$. તો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{f(x)}}{x - f(x)}$ ની કિંમત . . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module