अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = -1$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला $\theta$ का मान है

मान लीजिए $PQR$ एक त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $\Delta$ है,जहाँ $a=2, b=\frac{7}{2}$ और $c=\frac{5}{2}$ है,जहाँ $a, b$ और $c$ क्रमशः $P, Q$ और $R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। तो $\frac{2 \sin P-\sin 2P}{2 \sin P+\sin 2P}$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: अंतराल $[0, 2\pi]$ में त्रिकोणमितीय समीकरणों $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ और $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ के उभयनिष्ठ हलों की संख्या दो है।
कथन $-2$: अंतराल $[0, \pi]$ में समीकरण $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ के हलों की संख्या दो है।

$\triangle ABC$ में,यदि $\angle C = 90^{\circ}$ और $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = 1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दूसरी चिमनी की चोटी से देखने पर,जो $150 \, m$ ऊँची है और पहली चिमनी के समान स्तर पर खड़ी है,पहली चिमनी की चोटी और आधार के अवनमन कोण क्रमशः $\theta$ और $\phi$ हैं। यदि $\tan \theta = \frac{4}{3}$ और $\tan \phi = \frac{5}{2}$ है,तो उनकी चोटियों के बीच की दूरी .......$m$ है।

यदि $P$,$\triangle ABC$ के शीर्षलंब $AD$ पर एक बिंदु है,और $\angle ABP = \frac{2B}{3}$ है,तो $AP$ का मान ज्ञात कीजिए।