$\cos^{-1}(\cos 12) - \sin^{-1}(\sin 14)$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ $\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{x}-1}$ નું સમાધાન કરતું $x$ નું મૂલ્ય $\frac{a}{b}$ હોય (જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે),તો $a^2 + b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $(x, y)$ એવા છે કે $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$. કોલમ $I$ ના વિધાનોને કોલમ $II$ ના વિધાનો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ જો $a=1$ અને $b=0$,તો $(x, y)$	$(p)$ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પર છે
$(B)$ જો $a=1$ અને $b=1$,તો $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે
$(C)$ જો $a=1$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ પર છે
$(D)$ જો $a=2$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે

જો $x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ અને $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

જો $x \in [0, 1]$ હોય,તો સમીકરણ $2[\cos^{-1}x] + 6[\text{sgn}(\sin x)] = 3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે? (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે અને $\text{sgn}(x)$ એ $x$ નું ચિહ્ન વિધેય દર્શાવે છે)-

જો $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$ હોય,તો $\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right) = $