$\lambda$ का वह मान,जिसके लिए रेखा $2x - \frac{8}{3}\lambda y = -3$ शांकव $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ का अभिलंब है,है

एक दीर्घवृत्त जिसके लघु और दीर्घ अक्ष निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं,$(0,0)$,$(1,0)$ और $(0,2)$ से होकर गुजरता है। इसकी एक नाभि $Y$-अक्ष पर स्थित है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अंतर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े आयत का क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है,जहाँ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $\theta$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इस स्पर्श रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग न्यूनतम हो।

दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ एक आयत $R$ के भीतर स्थित है,जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। बिंदु $(0,4)$ से गुजरने वाला एक अन्य दीर्घवृत्त $E_2$ आयत $R$ के बाहर स्थित है। दीर्घवृत्त $E_2$ की उत्केंद्रता क्या है?

मान लीजिए कि एक रेखा $L$,रेखाओं $bx + 10y - 8 = 0$ और $2x - 3y = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,जहाँ $b \in R - \{\frac{4}{3}\}$। यदि रेखा $L$,बिंदु $(1, 1)$ से भी होकर गुजरती है और वृत्त $17(x^2 + y^2) = 16$ को स्पर्श करती है,तो दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।