$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right]$ ની કિંમત શું છે?

$\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{3}}\right) \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{5}}\right) \dots \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2n+1}}\right) \right\}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : [1, 3] \to R$ એક વિધેય છે જે $x \ne 2$ માટે $\frac{x}{[x]} \le f(x) \le \sqrt{6 - x}$ નું પાલન કરે છે અને $f(2) = 1$ છે,જ્યાં $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.
વિધાન $1$: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ નું અસ્તિત્વ છે.
વિધાન $2$: $f$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એ એક ચુસ્ત વધતું વિધેય છે જેથી $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ થાય. તો,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5 x)}{f(x)}-1\right]$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $f: R^{+} \rightarrow R$ એક વધતું વિધેય છે જેથી તમામ $x$ માટે $f(x) > 0$ છે. જો $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$ હોય,તો $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6 x)}{f(3 x)}=$

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sin x}{x^2+3}\right)$ ની કિંમત શોધો.