frac{^{100}C_{50}}{51} + frac{^{100}C_{51}}{5 | vedclass

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Question

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{100}}{101}$

Vedclass · Answer

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{101}C_{r+1}}{101}$ प्राप्त होता है।
$S = \frac{1}{101} \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$, जहाँ $k = r+1$ है।
योग $\sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$ द्विपद गुणांकों $(1+x)^{101}$ के अंतिम आधे भाग के योग को दर्शाता है।
चूँकि $\sum_{k=0}^{101} {^{101}C_{k}} = 2^{101}$ और $\sum_{k=0}^{50} {^{101}C_{k}} = \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}} = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$ है।
अतः, $S = \frac{2^{100}}{101}$।

$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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