वह मान p जिसके लिए फलन f(x) = begin{cases} fr | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 12(\log 4)^3$ होना चाहिए।सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0} f

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$4$

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(D) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 12(\log 4)^3$ होना चाहिए।सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{(4^x - 1)^3}{\sin(\frac{x}{p}) \log(1 + \frac{x^2}{3})}$मानक सीमाओं $\lim_{u 	o 0} \frac{a^u - 1}{u} = \log a$,$\lim_{u 	o 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,और $\lim_{u 	o 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \left[ \left( \frac{4^x - 1}{x} ight)^3 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{\sin(\frac{x}{p})} \cdot \frac{1}{\log(1 + \frac{x^2}{3})} ight]$$(\frac{x}{p})$ और $(\frac{x^2}{3})$ से गुणा और भाग करने पर:$= \lim_{x 	o 0} \left[ \left( \frac{4^x - 1}{x} ight)^3 \cdot \frac{x/p}{\sin(x/p)} \cdot p \cdot \frac{x^2/3}{\log(1 + x^2/3)} \cdot \frac{3}{x^2} \cdot x^3 ight]$$= (\log 4)^3 \cdot 1 \cdot p \cdot 1 \cdot 3 = 3p(\log 4)^3$इसे $f(0)$ के बराबर रखने पर:$3p(\log 4)^3 = 12(\log 4)^3$$3p = 12 \implies p = 4$.

वह मान $p$ जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(4^x - 1)^3}{\sin(\frac{x}{p}) \log(1 + \frac{x^2}{3})}, & x \ne 0 \\ 12(\log 4)^3, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,है:

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सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है,है

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 3ax + b, & \text{for } x < 1 \\ 11, & \text{for } x = 1 \\ 5ax - 2b, & \text{for } x > 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर संतत है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \end{cases}$ है,तो $f$ है

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \begin{cases} 2[x] - \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ एक वास्तविक मान वाला फलन है, तो $f$ है

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