सतत फलनों के प्रत्येक युग्म f, g: [0, 1] righ | vedclass

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Question

(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है। चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [

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$(A, D)$

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(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है। चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [0, 1]$ मौजूद हैं कि $f(a) = \lambda$ और $g(b) = \lambda$ हो। $h(x) = f(x) - g(x)$ को परिभाषित करें। तब $h(a) = f(a) - g(a) = \lambda - g(a) \ge 0$ और $h(b) = f(b) - g(b) = f(b) - \lambda \le 0$ होगा। मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in [0, 1]$ मौजूद है कि $h(c) = 0$ हो,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)$। विकल्प $(A)$ के लिए: $(f(c))^2 + 3f(c) = (g(c))^2 + 3g(c)$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है। विकल्प $(D)$ के लिए: $(f(c))^2 = (g(c))^2$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है। विकल्प $(B)$ और $(C)$ के लिए,$f(x) = g(x) = \lambda$ लें जहाँ $\lambda 
eq 0$ है। तब $(B)$ का रूप $\lambda^2 + \lambda = \lambda^2 + 3\lambda$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3\lambda$,या $\lambda = 0$,जो $\lambda 
eq 0$ का विरोधाभास है। इसी प्रकार $(C)$ के लिए भी। अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{x^4-5x^2+4}{|(x-1)(x-2)|} & , x \neq 1,2 \\ 6 & , x=1 \\ 12 & , x=2 \end{cases}$. तो $f(x)$ किस समुच्चय पर सतत है?

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $x = 0$ पर फलन $f(x)$ है:

यदि $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ \frac{1}{4}, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$ है,तो

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a + b, & x = 4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $x = 4$ पर संतत है,यदि $a$ और $b$ के मान हैं:

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