int_{0}^{pi} |sin^3 theta| , dtheta का मान क् | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta$. चूंकि $	heta \in [0, \pi]$ के लिए $\sin 	heta \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 	heta| = \sin^3

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta$. चूंकि $	heta \in [0, \pi]$ के लिए $\sin 	heta \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 	heta| = \sin^3 	heta$ होगा। अतः,$I = \int_{0}^{\pi} \sin^3 	heta \, d	heta$. सर्वसमिका $\sin^3 	heta = \sin 	heta (1 - \cos^2 	heta)$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \sin 	heta (1 - \cos^2 	heta) \, d	heta = \int_{0}^{\pi} \sin 	heta \, d	heta - \int_{0}^{\pi} \sin 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$. समाकलन करने पर: $\int_{0}^{\pi} \sin 	heta \, d	heta = [-\cos 	heta]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$. दूसरे भाग के लिए,$u = \cos 	heta$ लेने पर,$du = -\sin 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $	heta = 0, u = 1$; जब $	heta = \pi, u = -1$. $-\int_{0}^{\pi} \sin 	heta \cos^2 	heta \, d	heta = \int_{1}^{-1} u^2 \, du = [\frac{u^3}{3}]_{1}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{1^3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. अतः,$I = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

$\int_{0}^{\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta$ का मान क्या है?

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