int_1^{e^2} frac{dx}{x(1 + ln x)^2} का मान है | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$.$t = 1 + \ln x$ प्रतिस्थापित करने पर.तब,$dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।सीमाओं को बदलने पर

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(A) माना $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$.$t = 1 + \ln x$ प्रतिस्थापित करने पर.तब,$dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।सीमाओं को बदलने पर:जब $x = 1$,तब $t = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$.जब $x = e^2$,तब $t = 1 + \ln(e^2) = 1 + 2 = 3$.अब,समाकलन में मान रखने पर:$I = \int_1^3 \frac{dt}{t^2} = \int_1^3 t^{-2} dt$.$t^{-2}$ का समाकलन करने पर $\left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^3$ प्राप्त होता है।सीमाओं का उपयोग करने पर:$I = -\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{1} \right) = -\left( \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$ का मान है

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