int_{0}^{sqrt{2}} [x^2] , dx का मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$. चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, \sqrt

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$\sqrt{2} - 1$

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(C) माना $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$. चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, \sqrt{2}]$ को विभाजित करते हैं। $0 \le x $1 \le x \le \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 \le 2$,अतः $[x^2] = 1$. इस प्रकार,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx$. $I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}}$. $I = \sqrt{2} - 1$.

$\int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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$\int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx =$

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{\infty} (e^{x+1} + e^{3-x})^{-1} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 \log (x+1) \, dx =$

सिद्ध कीजिए कि $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^{2}(x+1)} = \frac{2}{3} + \log \frac{2}{3}$.

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

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