समाकलन int_{frac{1}{3}}^{1} frac{left(x-x^{3} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x(1-

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$6$

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(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^4 \cdot x^{\frac{1}{3}}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^3 \cdot x^{\frac{1}{3}}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{10}{3}}} dx$.माना $x = \frac{1}{u}$,तो $dx = -\frac{1}{u^2} du$.जब $x = \frac{1}{3}$,तो $u = 3$ और जब $x = 1$,तो $u = 1$.$I = \int_{3}^{1} \frac{(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^3})^{\frac{1}{3}}}{1/u^4} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_{1}^{3} u^4 \frac{(\frac{u^2-1}{u^3})^{\frac{1}{3}}}{u^2} du = \int_{1}^{3} u^2 \frac{(u^2-1)^{\frac{1}{3}}}{u} du = \int_{1}^{3} u (u^2-1)^{\frac{1}{3}} du$.माना $u^2-1 = v$,तो $2u du = dv$.$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{8} v^{\frac{1}{3}} dv = \frac{1}{2} [\frac{3}{4} v^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8} = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{8} (16) = 6$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

समाकलन $\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x$ का मान है

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यदि $f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|, \forall x \in[1,4]$ है,तो $\int_1^4 f(x) dx=$

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

Simpson के नियम का उपयोग करके और अंतराल $[1,3]$ को दो समान भागों में विभाजित करके $\int_1^3 \frac{dx}{2+3x}$ का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{\sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx = $

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