सीमा lim_{x rightarrow 0} left(frac{x}{sin x} | vedclass

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Question

(A) माना $p = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{6/x^2}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \

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$e$

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(A) माना $p = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{6/x^2}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(\frac{x}{\sin x}\right)$.$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\frac{x}{\sin x} = \frac{x}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)^{-1} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)$.अब,$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)$.$u = \frac{x^2}{6}$ के लिए $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \dots$ विस्तार का उपयोग करने पर:$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \left(\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + O(x^2)) = 1$.चूंकि $\ln p = 1$,इसलिए $p = e^1 = e$.

सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{6/x^2}$ का मान क्या है?

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