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Question

(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है। दिया गया अभिलंब स

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$ \vec{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})=3 $

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(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है। दिया गया अभिलंब सदिश $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ है। सबसे पहले,$ \vec{N} $ का परिमाण ज्ञात करें: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $। इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ है। मूल बिंदु से दूरी $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ है। इन मानों को समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ में रखने पर: $ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $। दोनों पक्षों को $ \sqrt{14} $ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $।

उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $ \frac{3}{\sqrt{14}} $ की दूरी पर है और मूल बिंदु से अभिलंब सदिश $ 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} $ है:

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