સદિશો $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ ............. $unit$ છે.

જો બિંદુઓ $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA, AB$ નું અનુક્રમે $1:4, 3:2, 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$

જો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ હોય, તો List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ સાથે જોડો.

$A$. $a-b$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એકમ સદિશ	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. જો $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ હોય, તો $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. જો $a, b, c$ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશ હોય, તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. જો $d$ એ $2 \sqrt{14}$ માન ધરાવતો અને $a$ ને સમાંતર સદિશ હોય, તો $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

ધારો કે $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ ત્રણ ધન યામ અક્ષોની દિશામાં એકમ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ $(b_2, b_3 \in \mathbb{R})$,અને $\vec{c}=c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ $(c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R})$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $b_2b_3 > 0$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\begin{bmatrix} 0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-c_1 \\ 1-c_2 \\ -1-c_3 \end{bmatrix}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા સાચું/સાચા છે?

નીચેના બે વિધાનો વચ્ચે:
વિધાન $-I$ : ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. તો સદિશ $\vec{r}$ જે $\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{r}=0$ નું સમાધાન કરે છે તેનું માન $\sqrt{10}$ છે.
વિધાન $-II$ : ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\frac{3}{2}$.

ધારો કે $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ ના અનુક્રમે $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશો છે. જો $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ અને જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $8$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $4$ છે
$(D)$ $\overrightarrow{w}$ એ સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે