परवलय y^2 = 4ax पर किसी भी बिंदु से खींचे गए | vedclass

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Question

(B) अभिलंब का प्राचलिक रूप में समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$at^3 + (2a - x)t - y = 0$ प्राप्त होता है।यह $t$ में एक त्रिघात

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$G.P.$

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(B) अभिलंब का प्राचलिक रूप में समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$at^3 + (2a - x)t - y = 0$ प्राप्त होता है।यह $t$ में एक त्रिघात समीकरण है,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 + t_3 = 0$ है,जिसका अर्थ है $t_1 + t_3 = -t_2$ $(i)$।$x = 2a$ पर,समीकरण $at^3 + (2a - 2a)t - y = 0$ हो जाता है,इसलिए $y = at^3$।$x = 2a$ पर कोटि $at_1^3, at_2^3, at_3^3$ हैं।दिया गया है कि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2at_2^3 = at_1^3 + at_3^3$,या $2t_2^3 = t_1^3 + t_3^3$।सर्वसमिका $t_1^3 + t_3^3 = (t_1 + t_3)(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$ का उपयोग करते हुए,$t_1 + t_3 = -t_2$ प्रतिस्थापित करने पर:$2t_2^3 = -t_2(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$।$-t_2$ से विभाजित करने पर,$-2t_2^2 = t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3$ प्राप्त होता है।चूंकि $t_1^2 + t_3^2 = (t_1 + t_3)^2 - 2t_1t_3 = t_2^2 - 2t_1t_3$ है,इसलिए:$-2t_2^2 = t_2^2 - 2t_1t_3 - t_1t_3 = t_2^2 - 3t_1t_3$।$-3t_2^2 = -3t_1t_3$,इसलिए $t_2^2 = t_1t_3$।अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $	an \phi = -t$।अतः,$(-	an \phi_2)^2 = (-	an \phi_1)(-	an \phi_3)$,जो $	an^2 \phi_2 = 	an \phi_1 	an \phi_3$ में सरल हो जाता है।इसलिए,$	an \phi_1, 	an \phi_2, 	an \phi_3$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

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