નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

નીચેનું વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો: જો $^*$ એ $N$ પર દ્વિ-આધારિત ક્રમ-નિરપેક્ષ (commutative) પ્રક્રિયા હોય,તો $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.

શું ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત $^*$ એ દ્રીક ક્રિયા છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

સાબિત કરો કે $+: R \times R \rightarrow R$ અને $\times: R \times R \rightarrow R$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી દ્વિ-ક્રિયાઓ છે,પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

જો $A = \{a, b, c\}$ હોય,તો $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયાઓની (binary operations) સંખ્યા કેટલી થાય?

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર નીચે આપેલા ગુણાકાર કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા $*$ ધ્યાનમાં લો. $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ ની ગણતરી કરો.
(સૂચના: નીચે આપેલા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો)