જો $A = \{a, b, c\}$ હોય,તો $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયાઓની (binary operations) સંખ્યા કેટલી થાય?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

અમે તમામ $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકોના ગણ પર દ્વિસંગી સંબંધ $\sim$ ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: $A \sim B$ જો અને માત્ર જો એવા વ્યસ્ત શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $B = P A Q^{-1}$ થાય. આ દ્વિસંગી સંબંધ $\sim$ એ

ગણ $\{1,2,3,4,5\}$ પર નીચે આપેલા ગુણાકાર કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા $*$ ધ્યાનમાં લો. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે (commutative છે)?
(સૂચન: નીચે આપેલા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો)

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.