निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

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Question

(A) एक समुच्चय $G$ द्विआधारी संक्रिया $\cdot$ के साथ एक समूह होता है यदि वह संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम गुणों को संतुष्ट करता है। $(N, \cdot)$

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$(N, \cdot)$ एक समूह (group) है

Vedclass · Answer

(A) एक समुच्चय $G$ द्विआधारी संक्रिया $\cdot$ के साथ एक समूह होता है यदि वह संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम गुणों को संतुष्ट करता है। $(N, \cdot)$ के लिए,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,किसी अवयव $a \in N$ (जहाँ $a 
eq 1$) का गुणात्मक प्रतिलोम $1/a$ है,जो $N$ में नहीं है। अतः,$(N, \cdot)$ प्रतिलोम गुण को संतुष्ट नहीं करता है और यह एक समूह नहीं है। $(N, +)$ एक अर्ध-समूह है क्योंकि यह योग के अंतर्गत संवृत और साहचर्य है। $(Z, +)$ एक समूह है क्योंकि यह समूह के सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है। सम पूर्णांकों का समुच्चय $2Z = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ योग के अंतर्गत एक समूह बनाता है क्योंकि इसमें तत्समक $0$ है,सभी अवयवों के प्रतिलोम मौजूद हैं,और यह संवृत तथा साहचर्य है। इसलिए,कथन $(N, \cdot)$ एक समूह है,असत्य है।

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दर्शाइए कि $\{1, 2\}$ पर $1$ को तत्समक (identity) और $2$ को $2$ का प्रतिलोम (inverse) मानने वाली द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या केवल एक है।

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