int_{-1}^{0} frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx$. અહીં $4x^2 + 4x + 3 = (2x + 1)^2 + 2$ છે. $t = 2x + 1$ લેતા,$dt = 2dx$ અથવા $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{7}{6}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx$. અહીં $4x^2 + 4x + 3 = (2x + 1)^2 + 2$ છે. $t = 2x + 1$ લેતા,$dt = 2dx$ અથવા $dx = \frac{dt}{2}$ મળે. જ્યારે $x = -1$ હોય ત્યારે $t = -1$ અને જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $t = 1$ થાય. $I = \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} dt$. ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = 0$ હોવાથી,$I = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(-t)^2 + 2}{1 + e^{-t}} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^{-t}} \cdot \frac{e^t}{e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(t^2 + 2)e^t}{e^t + 1} dt$. $I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{t^2 + 2}{1 + e^t} dt + \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{(t^2 + 2)e^t}{1 + e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (t^2 + 2) \frac{1 + e^t}{1 + e^t} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (t^2 + 2) dt$. $t^2 + 2$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-1}^{1} (t^2 + 2) dt = 2 \int_{0}^{1} (t^2 + 2) dt$. $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} (t^2 + 2) dt = \left[ \frac{t^3}{3} + 2t \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$. તેથી,$2I = \frac{7}{3} \implies I = \frac{7}{6}$.

$\int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx = $

Similar Questions

$\int_{-1}^1 \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) d x=$

$\int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module