$O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $A$ એ $(a, b, c)$ છે. રેખા $OA$ ની દિક્કોસાઇન અને $A$ માંથી પસાર થતા અને $OA$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $A$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
રેખા $OA$ ના દિક્ગુણોત્તર $(a-0, b-0, c-0) = (a, b, c)$ છે.
$OA$ ની લંબાઈ $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
તેથી,રેખા $OA$ ની દિક્કોસાઇન $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overrightarrow{OA} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a} = (a, b, c)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,$\vec{a} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,અને $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ મૂકતા:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k})) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) = 0$
$(x-a)a + (y-b)b + (z-c)c = 0$
$ax - a^2 + by - b^2 + cz - c^2 = 0$
$ax + by + cz = a^2 + b^2 + c^2$.