Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\triangle ABC$ માં,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$EF || BC$ અને $EF = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આમ,$EF || BD$ અને $EF = BD$ મળે છે.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($EF$ અને $BD$) સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય. તેથી $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\triangle ABC$ માં,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$EF || BC$ અને $EF = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આમ,$EF || BD$ અને $EF = BD$ મળે છે.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($EF$ અને $BD$) સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય. તેથી $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$PQRS$ અને $ABRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $X$ એ બાજુ $BR$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $ar(PQRS) = ar(ABRS)$
$(ii)$ $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$
$(i)$ $ar(PQRS) = ar(ABRS)$
$(ii)$ $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$AP || BQ || CR$ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(AQC) = \operatorname{ar}(PBR)$.
Medium
View Solution$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB || DC$ છે. $AC$ ને સમાંતર એક રેખા $AB$ ને $X$ માં અને $BC$ ને $Y$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(ADX) = \operatorname{ar}(ACY)$. [સૂચના: $CX$ ને જોડો.]
Difficult
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View Solution$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo