$P, Q, R$ અને $S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જ્યાં $AC \perp BD$ છે. સાબિત કરો કે $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC \perp BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં છેદે છે. ધારો કે $PQ$ એ $BD$ ને $E$ માં અને $PS$ એ $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
$PQ \parallel AC$ હોવાથી,$PE \parallel OG$.
$PS \parallel BD$ હોવાથી,$PG \parallel OE$.
આમ,$PGOE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$AC \perp BD$ હોવાથી,$\angle EOG = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$.
$PQRS$ એક એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.