$\max _{0 \leq x \leq \pi}\left\{x-2 \sin x \cos x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right\}=$

एक बगीचे में $50$ सेब के पेड़ हैं। प्रत्येक पेड़ $800$ सेब पैदा करता है। बगीचे में प्रत्येक अतिरिक्त पेड़ लगाने पर,प्रति पेड़ उत्पादन $10$ सेब कम हो जाता है। कुल उत्पादन को अधिकतम करने के लिए बगीचे में कितने अतिरिक्त पेड़ लगाए जाने चाहिए?

यदि दिए गए आयतन $V$ का एक बेलनाकार बर्तन,जिसके ऊपर ढक्कन नहीं है,धातु की एक चादर से बनाया जाना है,तो बर्तन की त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ क्या होगी ताकि प्रयुक्त धातु की चादर न्यूनतम हो?

वक्र $y=x^2-4$ पर स्थित किसी बिंदु की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी क्या है?

यदि फलनों $f(x) = \frac{x^3}{3} + 2bx + \frac{ax^2}{2}$ और $g(x) = \frac{x^3}{3} + ax + bx^2$,जहाँ $a \neq 2b$,का एक उभयनिष्ठ चरम बिंदु (extreme point) है,तो $a + 2b + 7$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \int\limits_0^x \frac{\sin t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तब $f(x)$ के लिए: