श्रेणी 1 + i^2 + i^4 + i^6 + ..... + i^{2n} क | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 + i^2 + i^4 + i^6 + ..... + i^{2n}$ है।चूंकि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ है,इसलिए श्रेणी $S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..... + (-1)

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निर्धारित नहीं किया जा सकता

Vedclass · Answer

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 + i^2 + i^4 + i^6 + ..... + i^{2n}$ है।चूंकि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ है,इसलिए श्रेणी $S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..... + (-1)^n$ हो जाती है।यह $n+1$ पदों वाली एक परिमित गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = i^2 = -1$ है।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r}$ होता है।मान रखने पर,$S = \frac{1(1 - (-1)^{n+1})}{1 - (-1)} = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{2}$ प्राप्त होता है।यदि $n$ सम है,तो $n+1$ विषम होगा,अतः $S = \frac{1 - (-1)}{2} = 1$ होगा।यदि $n$ विषम है,तो $n+1$ सम होगा,अतः $S = \frac{1 - 1}{2} = 0$ होगा।चूंकि मान $n$ की समता पर निर्भर करता है,इसलिए $n$ को जाने बिना इसे निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

श्रेणी $1 + i^2 + i^4 + i^6 + ..... + i^{2n}$ का मान क्या है?

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