यदि ^{n-1}C_r = (k^2 - 3) cdot ^nC_{r+1} है,त | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$ सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर: $\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} = (k^2 -

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$(\sqrt{3}, 2)$

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(D) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$ सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर: $\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$ क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर: $\frac{1}{r!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{(r+1)r!}$ $1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$ $k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$ $k^2 = \frac{r+1}{n} + 3$ चूंकि $0 \le r \le n-1$,इसलिए $1 \le r+1 \le n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n} \le \frac{r+1}{n} \le 1$। अतः,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$। $n \ge 2$ के लिए,$\frac{1}{n} + 3$ का मान $(3, 3.5]$ अंतराल में है। इसलिए,$k \in [-2, -\sqrt{\frac{1}{n} + 3}] \cup [\sqrt{\frac{1}{n} + 3}, 2]$। दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(\sqrt{3}, 2)$ सबसे उपयुक्त उपसमुच्चय है।

यदि $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$ है,तो $k$ का परिसर ज्ञात कीजिए:

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