9x^{2}-16y^{2}=144 और x^{2}+y^{2}=9 की एक उभय | vedclass

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Question

(B) माना $y=mx+c$ अतिपरवलय $9x^{2}-16y^{2}=144$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। अतिपरवलय को $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=

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$y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$

Vedclass · Answer

(B) माना $y=mx+c$ अतिपरवलय $9x^{2}-16y^{2}=144$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। अतिपरवलय को $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के रूप में लिखने पर,$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$ प्राप्त होता है। $y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है,अतः $c^{2}=16m^{2}-9$ $(i)$। $y=mx+c$ के वृत्त $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है,अतः $c^{2}=9(1+m^{2})$ (ii)। $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $16m^{2}-9=9+9m^{2}$। $7m^{2}=18$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{18}{7}$ $\Rightarrow m=\pm 3\sqrt{\frac{2}{7}}$। $m^{2}=\frac{18}{7}$ का मान (ii) में रखने पर: $c^{2}=9(1+\frac{18}{7})=9(\frac{25}{7})=\frac{225}{7}$। अतः,$c=\pm \frac{15}{\sqrt{7}}$। इस प्रकार,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$ है।

$9x^{2}-16y^{2}=144$ और $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है

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