એક રેખા $4x+y=1$ એ બિંદુ $A(2,-7)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $BC$ ને,જેનું સમીકરણ $3x-4y+1=0$ છે,તેને બિંદુ $B$ માં મળે છે. રેખા $AC$ નું સમીકરણ શોધો જેથી $AB=AC$ થાય.

એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો કર્ણનું સમીકરણ $3x + 4y = 4$ હોય અને તેનો સામેનો શિરોબિંદુ $(2, 2)$ હોય,તો બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ શોધો.

જો $P(\sin \alpha, \cos \alpha)$ એ $(0,0), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ અને $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની અંદર આવેલું હોય,તો $\alpha$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે બિંદુ $A(\alpha, \beta)$ નું રેખા $x + 2y = 3$ માં પ્રતિબિંબ બિંદુ $B$ છે,અને રેખા $3x - 2y = 5$ માં $B$ નું પ્રતિબિંબ $C$ છે. જો ઉગમબિંદુ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું લંબકેન્દ્ર હોય અને $P(a, b)$ એ ત્રિકોણની અંદરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી ત્રિકોણ $PAB$,$PBC$ અને $PCA$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો $3(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

$\triangle ABC$ માં,$D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ પરના બિંદુઓ છે જેથી $DE \parallel BC$ થાય. ધારો કે $BE$ અને $CD$ એ $O$ માં છેદે છે. જો $\triangle ADE$ અને $\triangle ODE$ ના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $3$ અને $1$ હોય,તો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો બિંદુઓ $(1, 1)$,$(-1, -1)$ અને $(-\sqrt{3}, k)$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય,તો $k$ ની કિંમત શું હશે?