$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{array} \right| = $

આપેલ છે કે, $a \alpha^2+2 b \alpha+c \neq 0$ અને સમીકરણોની સંહતિ
$\begin{aligned} & (a \alpha+b) x+a y+b z=0 \\ & (b \alpha+c) x+b y+c z=0 \\ & (a \alpha+b) y+(b \alpha+c) z=0\end{aligned}$
ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય, તો $a, b$ અને $c$ શેમાં છે?

$x$ ના કયા ભિન્ન મૂલ્યો માટે શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી,તે મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો.

જેના માટે નીચેના સમીકરણો $\sin \theta x - \cos \theta y + (\lambda + 1)z = 0$; $\cos \theta x + \sin \theta y - \lambda z = 0$; $\lambda x + (\lambda + 1)y + \cos \theta z = 0$ નો શૂન્યતર ઉકેલ મળે,તેવા $\theta, \lambda$ ના મૂલ્યો છે:

ધારો કે $S = \left\{ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & c \\ 1 & a & d \\ 1 & b & e \end{bmatrix} : a, b, c, d, e \in \{0, 1\} \text{ અને } |A| \in \{-1, 1\} \right\}$,જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. તો $S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધો.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y$ અને $z$ માટે,જો $x \neq y \neq z$,$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ અને $\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| \neq 0$ હોય,તો $xyz = $ . . . . . . .