$A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ और $B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ है,तो $A - B = $ . . . . . . .

$\left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right| \times \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ का मान है

मान लीजिए $A$ और $B$ दो व्युत्क्रमणीय (non-singular) विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह हैं, इस प्रकार कि $AB = BA$ है। तो $A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ एक शून्येतर $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$ है। एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ आव्यूह $M$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तब,कथनों में से:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ यदि trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ तो } R \text{ में केवल एक शून्येतर अवयव है।}$

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$,$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप वाले सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ में से प्रत्येक $\omega$ या $\omega^2$ है,तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix}$ और $I$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह है,तो सिद्ध कीजिए कि $I+A = (I-A) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.